İTME ve MOMENTUM
9 Nisan 2013 Salı
Momentumun çağdaş tanımları
Göreli mekanikte momentum
Göreli mekanikte, korunabilmesi için, momentum şöyle tanımlanmalıdır:
Burada :
Dörtlü vektör formülasyonu
Göreli dörtlü momentum, dörtlü vektörlerin Lorentz ötelemeleri altında değişmez kalmalarından dolayı, Albert Einstein tarafından önerilmiş tir. Dörtlü-momentum P şöyle tanımlanır:
burada E = γm0c2 ,sistemin toplam göreli enerjisi, ve px, py, ve pz sırasıyla göreli momentumun x-, y-, ve z bileşenlerini temsil eder.
Momentum dörtlü vektörünün büyüklüğü || P || , m0c’ye eşittir, çünkü
dir ve her gözlem çerçevesi için değişmezdir. Kapalı bir sistemde, toplam dörtlü momentum korunur ki bu en nihayetinde hem enerjinin hem de momentumun korunumunu birleştirip, bir tek denkleme indirgemiş olur. Örneğin, in the radiationless collision of two particles with rest masses m1 ve m2 kütleli , v1 vev2 ilk hızlarına sahip göreli iki parçacığın ışımasız çarpışmalarındaki, v3 ve v4 son hızları, dörtlü momentumun korunumundan aşağıdaki gibi bulunabilir
burada
Esnek çarpışmalarda, durgun kütle değişmez iken (m1=m3 ve m2=m4), esnek olmayan çarpışmalarda durgun kütlelerde değişiklik olur. Dörtlü momentumun korunumunun, [uzay-zaman|uzay-zamanın]] homojen olmasının bir sonucu olduğu ispatlanabilir.
Genelleştirilmiş momentum
Momentum, öteleme invaryansının Noether yüküdür. Öyle ki, sadece parçacıklar değil, alanlar ve diğer her şey momentuma sahip olabilir. Ancak uzay-zamanın eğri olduğu yerlerde, öteleme invaryansı için hiçbir Noether yükü yoktur.
Kuantum mekaniğinde momentum
Kuantum mekaniğinde, momentum, dalga fonksiyonu üzerine etkiyen bir işlemci olarak tanımlanır. Heisenberg belirsizlik ilkesi , bir sistemin aynı anda hem konumunu hem de momentumunu ne kadar hassas olarak belirleyebileceğimizin sınırların tanımlar. Kuantum mekaniğinde, konum ve momentum, eşlenik değişkenlerdir.
Konum tabanında tasvir edilen bir parçacığın momentum işlemcisi şöyledir;
burada ∇ gradyen işlemcisi, ħ indirgenmiş Planck sabiti, ve i sanal birimdir. Bu momentum işlemcisinin çokça kullanılan şeklidir, ancak değişik başka tabanlarda değişik biçimler alabilir. Örneğin momentum tabanında, momentum işlemcisi şöyle temsil edilir
burada ψ(p) dalga fonksiyonuna etkiyen işlemci p, dalga fonksiyonu kere p değeri sonucunu verir. Bu aynı konum işlemcisinin dalga fonksiyonuna etkidikten sonra, konum değeri x çarpı dalga fonksiyonunu vermesi gibidir.
Elektromagnetizmada momentum
Elektrik ve magnetik alanlar, durağan ya da zaman içinde değişip değişmediklerine bakılmaksızın, momentum taşırlar. Bir metal küre, silindirsel kapasitör veya mıknatıs bir çubuğun üzerindeki elektrostatik(magnetostatik) alanın P basıncı aşağıdaki gibidir.
Burada W,E,B Sırasıyla elektromagnetik enerji yoğunluğu, elektrik alanı, ve magnetik alandır. elektromagnetik basınç,P=W, kapasitörü patlatacak kadar güçlü olabilir. O halde elektrik ve magnetik alanlar da momentum taşırlar.
Işık (görülür, UV, radyo) elektromagnetik bir dalgadır ve böylece momentuma sahiptir. Fotonun kütlesi olmamasına rağmen yine de momentum taşır. Bu özellik güneş yelkeni gibi uygulamalara zemin hazırlar. Dielektrik ortamdaki ışığın momentumunun hesaplanması tartışmalıdır(Bkz Abraham–Minkowski controversy [1]).) Momentum, elektrodinamik bir sistemde korunur(alandaki momentumdan, hareket eden bölümlerin mekanik momentumuna dönüşebilir). Bir alanın momentumunun hesabı, genellikle enerji-momentum tensörü ve belli bir hacim üzerinden integre edilmiş Poynting vektörünün zaman içindeki değişimleri dikkate alınarak yapılır. Bu ise bileşenleri enerji yoğunluğu ve momentum yoğunluğu olan bir tensör alanıdır. Elektromagnetik etkileşmeler söz konusu olduğunda, kanonik momentuma karşılık gelen kuantum mekaniksel momentum işlemcisiP=m.V ,
Yerine :P=m.V+qA ile ifade edilir. Burada:
P=elektromagnetik vektör potansiyeliAçısal momentum
Açısal momentum çember şeklinde bir düzlemde dönen bir cismin sahip olduğu bir özelliktir. Momentum gibi sabittir:
r : Parçacığın seçilen orijin noktasına göre uzaklık vektörü
p : Parçacığın momentumu
İTME ve MOMENTUM
İTME (Impuls)
Durmakta olan bir cismin kazanacağı hız, uygulanan kuvvetin
büyüklüğü ve kuvvetin uygulanma süresi ile doğru orantılıdır.
Hareket halindeki bir cismi durdurmak için, hızına ters yönde uygulanması
gereken kuvvetin büyüklüğü ve bu kuvvetin uygulanma
süresi, cismin kütlesine ve hızına bağlıdır. Kısacası cismin
momentumundaki (kütle x hız) değişim, kuvvete ve kuvvetin uygulanma
süresine bağlıdır. Vektörel bir büyüklüktür. I ile gösterilir,
birimi N.s = kg.m/s dir.İTME = Cisme etki eden net kuvvet x kuvvetin uygulanma süresi
Durmakta olan bir cismin kazanacağı hız, uygulanan kuvvetin
büyüklüğü ve kuvvetin uygulanma süresi ile doğru orantılıdır.
Hareket halindeki bir cismi durdurmak için, hızına ters yönde uygulanması
gereken kuvvetin büyüklüğü ve bu kuvvetin uygulanma
süresi, cismin kütlesine ve hızına bağlıdır. Kısacası cismin
momentumundaki (kütle x hız) değişim, kuvvete ve kuvvetin uygulanma
süresine bağlıdır. Vektörel bir büyüklüktür. I ile gösterilir,
birimi N.s = kg.m/s dir.İTME = Cisme etki eden net kuvvet x kuvvetin uygulanma süresi
Yani:
I=F.t
F": kuvvet, Newton (N) biriminde.
"t": süre, Saniye (s) biriminde.
"I": İmpuls, Newton•Saniye biriminde.
Bir cisme uygulanan net kuvvet, o cismin ivmeli hareket etmesini ve hızının değişmesini sağlar.
"t": süre, Saniye (s) biriminde.
"I": İmpuls, Newton•Saniye biriminde.
Bir cisme uygulanan net kuvvet, o cismin ivmeli hareket etmesini ve hızının değişmesini sağlar.
MOMENTUM
Cismin hızı ile kütlesinin çarpımıdır. Eşit hızdaki iki cismi aynı
sürede durdurabilmek için kütlesi büyük olana, daha büyük bir
kuvvet uygulamak gerekir.
Bunun anlamı eşit hızdaki iki cisim bir duvara çarptığında,
kütlesi, dolayısıyla momentumu büyük olanın duvara uyguladığı
kuvvet de (yıkıcılığı da) büyüktür. Vektörel bir büyüklüktür. P ile
gösterilir, birimi Ns = kg.m/s dir.
MOMENTUM = Cismin kütlesi x Cismin hızı
P=m.V
Bir parçacığın çizgisel momentumu
Bir nesne herhangi bir gözlem çerçevesinde hareket halinde ise, o çerçeve içinde bir momentuma sahiptir. Momentumun çerçeve bağımlı olduğunu belirtmek önemlidir. Yani aynı nesne, bir gözlem çerçevesinde belli bir momentum değerine sahip olabilirken, başka bir gözlem çerçevesinde ise başka bir momentum değerine sahip olabilir. Örneğin, hareketli bir nesne, yere göre sabit bir noktaya göre seçilen bir gözlem çerçevesinde momentumu olmasına rağmen, kütle merkezine iliştirilen bir gözlem çerçevesinde ise sıfır momentumu vardır.
Bir nesnenin sahip olduğu momentumun miktarı, iki fiziksel büyüklüğe bağlıdır: Kütlesi ve o gözlem çerçevesindeki hızı. Fizikte, momentum için kullanılan sembol genellikle kalın p harfidir (kalın yazılmasının nedeni vektör olmasındandır.); böylece şöyle ifade edilebilir:
P=m.V
burada p momentum, m kütle ve v hızdır.
Einstein'ın asansöründeki Newton'un elması . A kişisinin gözlem çerçevesinde, elma sıfır olmayan bir hıza ve momentuma sahiptir. Asansörün ve B kişisinin gözlem çerçevesinde ise, elma, sıfır bir hıza ve momentuma sahiptir.
Örnek: kuzeye doğru yere paralel düz bir rotada 1 m/s hızına ve 1 kg kütleye sahip model bir uçağın momentumu yere göre ölçüldüğünde, kuzey yönünde 1 kg•m/s ‘dir. Kokpitin içindeki bir pilot, kokpit gözlem çerçevesine göre uçağın hızını sıfır ölçeceğinden, momentumunu da sıfır ölçer.
Newton’un ikinci yasasına göre, bir parçacığın momentumunun değişim hızı, parçacık üzerine etki eden net kuvvetle doğru orantılıdır ve yönü ise bu net kuvvetin yönündedir. Net kuvvetin, momentumdan türetilmesi aşağıdaki gibidir:
kütle zaman içinde sabitse, türevin ikinci terimi (thrust terimi) denir. Böylece şunu yazabiliriz:
F=m.A
burada F’nin net kuvvet olduğu anlaşılmalıdır.
Örnek: yine bir model uçak, 1 kg kütleli, 1 s içinde kuzeye doğru sıfır hızdan 1 m/s hızına ivmelensin. Bu ivmelenme için gerekli kuvvet 1 newtondur. Momentumdaki değişim 1 kg•m/s’dir. Kokpitteki pilot için ise momentumda bir değişim yoktur. İvmelenme sırasında pilotun sırtının koltuğa yapışması, bu thrust’a tepki kuvvetine karşı dengelenmedir.
Bir çok-parçacık sisteminin çizgisel momentumu
Kütle ve hız bağıntıları
Çok-parçacık sisteminin çizgisel momentumu, sistem içindeki ayrı ayrı tüm nesnelerin momentalarının vektörel toplamlarına eşittir.
burada p parçacık sisteminin toplam momentumu, mi vevi i’inci nesnenin sırasıyla kütlesi ve hızı, ve n ise sistemdeki nesnelerin sayısıdır..
Gösterilebilir ki, kütle merkezi çerçevesinde herhangi bir sistemin momentumu sıfırdır. Dahası, bu kütle merkezi çerçevesine göre hızı vkm olan başka bir çerçevedeki momentum basitçe aşağıdaki gibidir:
Bu Euler'in ilk yasası olarak bilinir.
Kuvvet bağıntısı – Genel hareket denklemleri
Bir çok-parçacıklı sistemin çizgisel momentumu, toplam kütle m ile kütle merkezi hızı vkm’nin çarpımı olarak da tanımlanabilir.
Maddesel bir gövdenin hareketi.
Çizgisel momentumun korunumu
Çizgisel momentumun korunumu yasası doğanın temel bir yasası olup, eğer kapalı bir sisteme etkiyen hiçbir dış kuvvet mevcut değilse, o kapalı sistemin momentumunun sabit kalacağını söyler. Bu yasanın sonuçlarından bir tanesi ise; herhangi bir nesneler sisteminin kütle merkezi, sistem dışı bir kuvvete maruz kalmadığı sürece, her zaman aynı bir hız ile hareketini sürdürecektir..Momentumun korunumu, matematiksel bir özellik olan uzayın homojen olmasının bir sonucudur (bir nesnenin uzay içindeki konumu, momentumuna kanonik olarak eşleniktir). O halde momentumun korunduğu bir sistemin içinde fiziksel olarak ne olup bittiği, o sistemin uzaydaki konumunun nerede olduğu ile bir ilgisi bulunmamaktadır.
Analitik mekanikte momentumun korunumu, Lagranjiyenin, ötelemeler altında değişmez kalmasının bir sonucudur. Toplam momentumun hareket sabiti olduğu, Lagranjiyene sonsuz küçük bir öteleme yapılıp, bunu ötelenmemiş Lagranjiyenle eşitlenerek ispatlanabilir. Bu Noether teoreminin özel bir halidir .
Kapalı bir sistem için (eğer dış kuvvetler yoksa) toplam momentumun korunumu aslında, Newton'un birinci hareket yasasıdır. Newton'un üçüncü yasası olan, alt sistemler arasında etkiyen kuvvetlerin büyüklükleri aynı ve yönleri zıttır şeklinde ifade edilen , etkiye tepki yasası ise momentum korunumunun bir sonucudur.
Uzaydaki konum, vektörel bir nicelik olduğundan, konuma kanonik eşlenik olan momentum da vektörel bir niceliktir—bir yöne sahiptir. O halde, bir silah ateşlendiğinde, sistemin (silah ve merminin) toplam momentumu, bu iki cismin momentumlarının vektörel toplamlarıdır. Ateşlemeden hemen öncesinde silah ve merminin duruyor oldukları farzedilirse (ki bu sistemin başlangıç momentumunun sıfır olmasıdır), sistemin son toplam momentumu da sıfır olmalıdır. Sadece iki nesneye sahip kapalı bir sistemde, nesnelerden birindeki momentum değişimi, diğerinkine büyüklük olarak eşit ve yön olarak ters olmalıdır. Matematiksel olarak,
Momentum, yine kapalı bir sistemde, çarpışmalarda ve iç patlamaların sebep verdiği ayrılmalarda dahi korunur. Kinetik enerji , öte yandan, çarpışmalar esnek değilse, korunmaz. Momentum korunduğundan dolayı, bu bir çarpışma ya da ayrılmayı takip eden durumda bilinmeyen bir hızı, eğer diğer kütle ve hızların bilinmesi durumunda, hesap edilebilir.
Bu gerçeğin gerekli olduğu, fizikte sık raslanan bir problem, iki parçacığın çarpışmalarıdır. Momentum herzaman korunuyor olacağından, çarpışma öncesi momenta toplamı, çarpışma sonrası momenta toplamına eşit olmalıdır:
Burada; "u1" ve "u2": Çarpışma öncesi hızlar, metre/saniye biriminde. "v1" ve "v2": Çarpışma sonrası hızlar, metre/saniye biriminde. "m": Kütle, kg biriminde.
İlk hızlardan, son hızların belirlenmesi (ya da tam tersi), çarpışmanın çeşidine bağlıdır. İki çeşit momentum koruyan çarpışma vardır: Kinetik enerjiyi de koruyan esnek çarpışmalar , ve kinetik enerjiyi korumayan esnek olmayan çarpışmalar.
Esnek çarpışmalar
İki bilardo topunun çarpışması, sertliklerinin yüksek olmasından dolayı, “neredeyse” tamamen esnek bir çarpışmaya örnek olarak verilebilir. Tamamen esnek olan çarpışmalar sadece teoride, sertlikleri matematiksel olarak sonsuz olan iki cisim arasında var olabilir. İki topun çarpışması esnasında momentumun korunmasının yanı sıra, çarpışma öncesi kinetik enerjilerin toplamı, çarpışma sonraki toplama eşit olmalıdır:Bir boyutta
Başlangıç hızları bilindiğinde, kafa-kafaya olan çarpışmalardaki son hızlar şöyle verilir:
momentum korunumunu gösteren bir newton bileşiği.
Eşit kütleli iki cismin kafa-kafaya çarpışmasında (yani, m1 = m2), son hızlar şöyle verilir:
Yani hızlar basitçe değiş tokuş edilirler. Eğer birinci cisim sıfır olmayan u1 ilk hızına sahip olup ikincisi ise duruyorsa, çarpışmadan sonra birinci cisim duruyor olup, ikincisi u1 son hızı ile hareketine devam edecektir. Bu fenomenin temsili Newton beşiği ile gösterilebilir.
ÖRNEK: İlk hızları ve kütleleri: m1=1000kg, u1=5m/s, m2=0.1kg, u2=0m/s. Son hızları yaklaşık olarak verilmiştir: v1=4.999m/s, v2=9.999m/s
Çoklu boyutlarda
Birden daha üst boyutlardaki, kafa-kafaya olmayan çarpışmalardaki gibi çarpışmalarda, hız vektörü, çarpışma düzlemine dik ve çarpışma düzlemine paralel olmak üzere, iki ortogonal bileşenine ayrılır. Çarpışma düzlemine dik hız bileşenleri değişmeden kalırken, çarpışma düzlemindeki hız , bir boyutlu durumdaki gibi hesaplanabilir. Örneğin, iki-boyutlu bir çarpışmada, momenta x ve y bileşenlerine ayrıştırılabilir. Bundan sonra her bileşeni ayrı ayrı hesaplayıp, sonuçları vektörel olarak birleştirip hesaplayabiliriz. Bu vektörün büyüklüğü, kapalı sistemin son momentumudur.Mükemmel, esnek-olmayan çarpışma
Mükemmel esnek-olmayan çarpışmaya verilen ortak bir örnek, iki kartopunun çarpışıp, akabinde birbirlerine yapışmalarıdır. Bu durumda momentumun korunumu denklemi şöyledir:Mükemmel, esnek-olmayan çarpışmalar, gösterilebilir ki, kinetik enerjinin maksimum oranda diğer enerji biçimlerine dönüştüğü çarpışmalardır. Örneğin, eğer çarpışmadan sonra iki cisim yapışıp, ortak bir son hız ile hareket ediyorlarsa, daima, nesnelerin hızlarının sıfır olduğu ve böylece kinetik enerjilerinin %100’ünün dönüştürüldüğü bir gözlem çerçevesi bulunabilir. Bu göreli durumda dahi doğru olup, parçacık hızlandırıcılarında , kinetik enerjiyi etkin bir biçimde, kütle-enerjinin değişik formlarına çevirmek için,(yani kütleli parçacıklar elde etmek için), kullanılır.
Tazmin katsayısı
- Tazmin( restitution) katsayısı, göreli uzaklaşma hızının, göreli yaklaşma hızına oranı olarak tanımlanır. Bir oran olduğundan, boyutsuz bir niceliktir. Tazmin katsayısı, iki çarpışan nesne için, şöyle verilir:
burada
- v1 çarpışmadan sonra, birinci nesnenin son skaler hızı
- v2 çarpışmadan sonra, ikinci nesnenin son skaler hızı
- u1 çarpışmadan önce, birinci nesnenin ilk skaler hızı
- u2 .çarpışmadan önce, ikinci nesnenin ilk skaler hızı.
Esnek-olmayan çarpışmalar, (CR < 1) eşitsizliğine sahiptirler. Mükemmel bir esnek-olmayan çarpışma durumunda, çarpışan cisimlerin kütle merkezlerine göre hızları sıfırdır. Böylece cisimler, çarpışmadan sonra birbirlerine yapışırlar.
Patlamalar
Patlamalar, bir zincirleme reaksiyon sonucunda, potansiyel enerjinin kinetik enerjiye dönüşmesiyle çevrede bulunan materyallerin yer değiştirmesi şeklinde oluşurlar. Patlamalar potansiyel enerjiyi korumaz. Bunun yerine kimyasal, mekanik ya da nükleer biçimlerinde bulunan potansiyel enerjiyi, kinetik enerji, akustik enerji ve elektromagnetik ışınım biçimlerine çevirir.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)