Momentumun çağdaş tanımları

Göreli mekanikte momentum

Göreli mekanikte, korunabilmesi için, momentum şöyle tanımlanmalıdır:

burada m₀ cismin değişmez kütle si ve ϒ

İle verilen Lorentz çarpanıdır. burada v cismin hızı ve c ışık hızıdır. Tersine bağıntı şöyle verilir:

Burada :

momentumun büyüklüğüdür.

Göreli momentum, değişmez kütle ile cismin has hızının çarpımı olarak da verilir. Cismin has hızı, cismin, gözlemcinin kendi gözlem çerçevesinde ölçtüğü konumunun, cismin kendi üzerinden geçen zamana göre(yani cismin has zamanına göre) olan değişim hızıdır. Klasik mekaniğin geçerli olduğu bölgede, göreli momentum, Newtonsal momentuma yakınsar: düşük hızlarda, γm₀v , yaklaşık olarak m₀v Newtonsal momentum ifadesine eşittir.

Bir cismin toplam E enerjisi, göreli momentumu ile şöyle ilintilidir

 

burada p , p’nin büyüklüğüdür. Bu göreli enerji-momentum bağıntısı, foton gibi kütlesiz parçacıklar için bile geçerlidir; m₀ = 0 seçilirse

 

olur. Hem kütleli hem de kütlesiz parçacıklar için de, göreli momentum, de Broglie dalgaboyu λ’ya şöyle bağlıdır.

 

burada h , Planck sabitidir.

  Dörtlü vektör formülasyonu

Göreli dörtlü momentum, dörtlü vektörlerin Lorentz ötelemeleri altında değişmez kalmalarından dolayı, Albert Einstein tarafından önerilmiş tir. Dörtlü-momentum P şöyle tanımlanır:

 

burada E = γm₀c² ,sistemin toplam göreli enerjisi, ve p_x, p_y, ve p_z sırasıyla göreli momentumun x-, y-, ve z bileşenlerini temsil eder.

Momentum dörtlü vektörünün büyüklüğü || P || , m₀c’ye eşittir, çünkü

 

dir ve her gözlem çerçevesi için değişmezdir. Kapalı bir sistemde, toplam dörtlü momentum korunur ki bu en nihayetinde hem enerjinin hem de momentumun korunumunu birleştirip, bir tek denkleme indirgemiş olur. Örneğin, in the radiationless collision of two particles with rest masses m1 ve m2 kütleli , v1 vev2 ilk hızlarına sahip göreli iki parçacığın ışımasız çarpışmalarındaki, v3 ve v4 son hızları, dörtlü momentumun korunumundan aşağıdaki gibi bulunabilir

 

burada

 

Esnek çarpışmalarda, durgun kütle değişmez iken (m1=m3 ve m2=m4), esnek olmayan çarpışmalarda durgun kütlelerde değişiklik olur. Dörtlü momentumun korunumunun, [uzay-zaman|uzay-zamanın]] homojen olmasının bir sonucu olduğu ispatlanabilir.

  Genelleştirilmiş momentum

Momentum, öteleme invaryansının Noether yüküdür. Öyle ki, sadece parçacıklar değil, alanlar ve diğer her şey momentuma sahip olabilir. Ancak uzay-zamanın eğri olduğu yerlerde, öteleme invaryansı için hiçbir Noether yükü yoktur.

  Kuantum mekaniğinde momentum

 Kuantum mekaniğinde, momentum, dalga fonksiyonu üzerine etkiyen bir işlemci olarak tanımlanır. Heisenberg belirsizlik ilkesi , bir sistemin aynı anda hem konumunu hem de momentumunu ne kadar hassas olarak belirleyebileceğimizin sınırların tanımlar. Kuantum mekaniğinde, konum ve momentum, eşlenik değişkenlerdir.

Konum tabanında tasvir edilen bir parçacığın momentum işlemcisi şöyledir;

 

burada ∇ gradyen işlemcisi, ħ indirgenmiş Planck sabiti, ve i sanal birimdir. Bu momentum işlemcisinin çokça kullanılan şeklidir, ancak değişik başka tabanlarda değişik biçimler alabilir. Örneğin momentum tabanında, momentum işlemcisi şöyle temsil edilir

 

burada ψ(p) dalga fonksiyonuna etkiyen işlemci p, dalga fonksiyonu kere p değeri sonucunu verir. Bu aynı konum işlemcisinin dalga fonksiyonuna etkidikten sonra, konum değeri x çarpı dalga fonksiyonunu vermesi gibidir.

Elektromagnetizmada momentum

Elektrik ve magnetik alanlar, durağan ya da zaman içinde değişip değişmediklerine bakılmaksızın, momentum taşırlar. Bir metal küre, silindirsel kapasitör veya mıknatıs bir çubuğun üzerindeki elektrostatik(magnetostatik) alanın P basıncı aşağıdaki gibidir.

Burada   W,E,B Sırasıyla elektromagnetik enerji yoğunluğu, elektrik alanı, ve magnetik alandır. elektromagnetik basınç,P=W, kapasitörü patlatacak kadar güçlü olabilir. O halde elektrik ve magnetik alanlar da momentum taşırlar.

Işık (görülür, UV, radyo) elektromagnetik bir dalgadır ve böylece momentuma sahiptir. Fotonun kütlesi olmamasına rağmen yine de momentum taşır. Bu özellik güneş yelkeni gibi uygulamalara zemin hazırlar. Dielektrik ortamdaki ışığın momentumunun hesaplanması tartışmalıdır(Bkz Abraham–Minkowski controversy [1]).) Momentum, elektrodinamik bir sistemde korunur(alandaki momentumdan, hareket eden bölümlerin mekanik momentumuna dönüşebilir). Bir alanın momentumunun hesabı, genellikle enerji-momentum tensörü ve belli bir hacim üzerinden integre edilmiş Poynting vektörünün zaman içindeki değişimleri dikkate alınarak yapılır. Bu ise bileşenleri enerji yoğunluğu ve momentum yoğunluğu olan bir tensör alanıdır. Elektromagnetik etkileşmeler söz konusu olduğunda, kanonik momentuma karşılık gelen kuantum mekaniksel momentum işlemcisi

      P=m.V ,

Yerine :

    P=m.V+qA         ile ifade edilir. Burada:

          P=elektromagnetik vektör potansiyeli

m=yüklü parçacığın kütlesi

V= hızı

q= yüküdür

      Açısal momentum

Açısal momentum çember şeklinde bir düzlemde dönen bir cismin sahip olduğu bir özelliktir. Momentum gibi sabittir:

 

r : Parçacığın seçilen orijin noktasına göre uzaklık vektörü

p : Parçacığın momentumu